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​做具体数学的 2.8 题时,想到 falling/rising factorial 定义中的一个问题。

书中 falling factorial 的标准定义是:

\[
x^{\underline{n}} = \frac{x!}{(x - n)!}
\]

下面假设只考虑整数。

也就是从 x 开始递减相乘,乘 n 个,这也就是 falling factorial 的直观意义。如果 n 是负数,则递增相除,这样可以在运算上做到 well defined。
假设 x > 0,n > x,那么 x(x - 1)(x - 2)…(x - n + 1) 这个乘积必然等于 0,因为递减的过程中一定会遇到 0,即 $x^{\underline{n}} = 0$。

假设 x < 0,n < x,那么递增除的过程中一定会出现被零除的情况,则其结果应该是没有意义。

我们举个例子,

\[
2^{\underline{3}} = 2 \times 1 \times 0 = 0
\]

\[
(-2) ^ {\underline{-3}} = \frac{1}{-1 \times 0 \times 1} = NaN
\]

但是,如果用通用公式来看:

\[
2 ^ {\underline{3}} = \frac{2!}{(2 - 3)!} = \frac{2}{(-1)!}
\]

\[
(-2) ^ {\underline{-3}} = \frac{(-2)!}{(-2 - (-3))!} = (-2)!
\]

那么,看起来,一般定义负数阶乘的方法,并不能让第一个结果有意义且第二个结果无意义。

所以我觉得 falling factorial 的这个定义可能不是那么 well defined,或许应该规定 x 为非负整数且 x > n。但我不知道这是否与 finite calculus 的概念相悖,看起来 finite calculus 是不应该有这么大局限的。

好友 Yining Wang 最近正好在研究相关问题,向他了解情况后,我可以判定 Knuth 在书中给出的通项确实不好。事实上,除了负整数外,n 是任意复数都是有定义的。$2^{\underline{3}}$ 也确实应该等于 0。

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